図形の対称性から、円柱面の上部で、 の上にある部分を計算して8倍すればよい 円柱の方程式の両辺を、 および で偏微分すると、 、 となるから 、 よって (2) 求める曲面積は、円柱表面上の部分と球面上の部分に分けられ、それぞれを 、 とする 定理1による2重積分の計算 例題1 (先週の問題から) D= f(x;y)j x+y<2; x>0;y>0g とするとき，2重積分 ∫∫ D xdxdy の値を二通りの方法で求めよ。 D 2 2 O x y=2 x y (x=2 y) (1) 最初にxを固定してy軸に平行な方向に積分し， 次にx軸に平行な方向に積分する。(定理1の(10:1)式) 今回は2重積分の基礎部分、および積分範囲の交換方法についてまとめています。2重積分とはどのようなものなのかを図などでわかりやすく説明してから実際に2重積分を計算する方法や積分範囲を交換する方法を例題や練習問題などでわかりやすくまとめています。 重積分を用いると、空間中の曲面積や体積を求めることができます。具体的な計算例として、楕円体の体積の公式を導出します。空間積分では、ある面における切り口を積分することになります。 重積分の性質 を有界閉集合とし、 上で定義された関数 がともに、 上 の面積は存在するとす で る。 重積分可能であるとする。このとき、 が成り立つ。 また、 が に分割され、 が と 上で 重積分可能である とする。このとき、 が成り立つ。 次に、 この記事では重積分の計算方法を，例題を通じて解説します。重積分の厳密な定義や順序交換の条件などは専門書を読んで下さい。 なお，二重積分のみ扱います。三重積分なども同様に計算できます。 分解するパターン. V = f(x;y;z) j x2 +y2 +z2 ≦ a2g (a>0) のとき，次の3重積分の値を求めよ． (1) ∫∫∫ V (x2 +y2 +z2)dxdydz 今回は2変数関数の変換を用いた積分のうち、とくに重要な極座標変換を用いて2重積分の値を求める方法を例題や練習問題などを踏まえてわかりやすく説明しています。また、領域が円ではなく楕円だった場合の変数変換についてもまとめました。 この記事では重積分の計算方法を，例題を通じて解説します。重積分の厳密な定義や順序交換の条件などは専門書を読んで下さい。 なお，二重積分のみ扱います。三重積分なども同様に計算できます。 分解 … 6 演習問題 問1. 例題11.1の解法を真似て，次の3重積分を計算せよ． V z2 dxdydz V = f(x;y;z) j x2 +y2 ≦ z; 0 ≦ z≦ 2 g (ヒント：zを固定したとき，x;yについての2重積分は円の面積として値が求められる) 問2. 例題1 (先週の問題から) D= f(x;y)j x+y<2; x>0;y>0g とするとき，2重積分 ∫∫ D xdxdy の値を二通りの方法で求めよ。 D 2 2 O x y=2 x y (x=2 y) (1) 最初にxを固定してy軸に平行な方向に積分し， 次にx軸に平行な方向に積分する。(定理1の(10:1)式) (2) 最初にyを固定してx軸に平行な方向に積分し， 次にy軸に平行 …
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